Dos supuestos errores matemáticos de Borges

 
A fines del año pasado, en el blog de Tim Gowers, Barry Cunningham trajo a colación un supuesto error matemático de Borges, error que él detectara en alguna traducción al inglés de El Aleph en que aparece la siguiente acotación acerca del símbolo que da nombre al cuento: “… it is the symbol of transfinite numbers, of which any part is as great as the whole”. (En español: “… es el símbolo de los números transfinitos, de los cuales cualquier parte es tan grande como el todo”). Al leer esto, inmediatamente supuse que había un error de traducción. No era posible que Borges hubiera escrito semejante cosa.  Y, en efecto, he aquí el original: “… es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”.  Traduttore, traditore.  En efecto, cualquier número transfinito tiene el mismo tamaño que algunas de sus partes, y no, no es verdad que todas las partes tengan el mismo tamaño que el todo. Dos conjuntos tienen el mismo tamaño si existe una función biyectiva entre ellos. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números pares tienen el mismo tamaño, pues la función descrita por la regla f(n) = 2n es una biyección entre los dos conjuntos, y he ahí que los conjuntos infinitos pueden ser (y de hecho, son) iguales en tamaño a algunas de sus partes.

En el buen libro The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, escrito por William Goldbloom Bloch, se endilga a Borges un error un tanto más sutil. En el cuento El libro de arena, Borges describe las páginas del libro central del cuento como infinitamente delgadas. Goldbloom Bloch argumenta que si las páginas son infinitamente delgadas, aún y cuando haya infinitas páginas, el libro mismo tendría que ser infinitamente delgado. 

In nonstandard analysis, there are infinitely many hyperreal infinitesimals clustered around 0, every one samller than any positive real number. Each signifies an infinitely small distance. We may simply assign any infinitesimal we wish to each page of the Book. By the rules of nonstandard analysis, we compute the thickness of the Book by adding together all of the infinitesimals. For a summation such as this one, adding the infinite number of infinitesimals produces yet another infinitesimal, so the Book is, again, infinitely thin: never to be seen, never to be found, never to be opened.

Sí, es cierto que el análisis no estándar nos permite calcular el grosor del libro de arena, y que para ello basta con sumar la totalidad de los grosores de las páginas del libro, y que ello corresponde, en la mejor interpretación posible, a realizar una suma de un número infinito de infinitesimales (números mayores que 0 pero menores que cualquier número real positivo). Sin embargo, una suma infinita de números infinitesimales no es necesariamente un número infinitesimal.  Imaginemos que N es un número infinitamente grande. Entonces, naturalmente, 1/N es un número infinitesimal, pues, siendo mayor que 0, es, sin embargo, más chico que cualquier número real positivo.  Ahora, imaginemos que cada página en el libro de arena tiene grosor 1/N, y que el número de páginas en el libro es N. Si se suma 1/N un total de N veces, el resultado es lo que nuestro lector espera: 1.  Razonar sobre infinitesimales es complicado, y es posible que Goldbloch Bloom se haya convencido de que, como los infinitesimales están todos aglutinados en una región de longitud infinitesimal (todos ellos muy cerca de 0), al identificarlos con los grosores de las páginas del libro de arena uno podía ver claramente que el libro tenía que ser infinitamente delgado.  Dicha intuición es errónea.  Es preciso sumar esos grosores, y cuando uno suma un número infinito de cantidades infinitesimales puede ocurrir de todo. Quizás la forma más simple de ver esto es pensar en la naturaleza de los puntos: se puede pensar que cada punto tiene longitud infinitesimal. Y se puede también fácilmente ver que la recta real es una colección infinita de puntos, cada uno de ellos de longitud infinitesimal. Y sin embargo, la recta real tiene longitud infinita.
Quiero dejar constancia de que el libro de Goldbloom Bloch me parece muy recomendable, pese al error en que aquí reparo.

Fuente : Perplejidades
Cuaderno de Pedro Poitevin.
http://poitevin.tumblr.com/post/1215680791/dos-supuestos-errores-matematicos-de-borges


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