Borges y su obsesión por las matemáticas

Entre números y letras: infinito abismo

El escritor argentino más reconocido en la literatura internacional juega en el abismo infinito de números y letras. El mundo de las matemáticas, en especial, es uno de los importantes protagonistas ocultos en toda su obra. Secretos, sutilezas, enigmas, infinitos y paradojas en la narrativa de Borges.

Por Pablo María Sorondo
Ilustraciones: Natalia Deganis

Igual que el color negro, Borges combina bien con todo. El apellido del escritor argentino ha acompañado innumerables ediciones sobre Borges y... la disciplina que se quiera. Esta tendencia a asociar al escritor con la totalidad del universo, se ha acelerado con el centenario de su nacimiento, y se encuentran hoy miles de libros que relacionan su prosa con las más extravagantes ramas del saber.
Aquí viene un ejemplo simpático: en el libro Borges y la Ciencia, Marcelino Cereijido se propone hablar de Borges y la biología. Pero pocas páginas más adelante, después de aventurar algunas hipótesis, Cereijido confiesa, derrotado: "No he sido capaz de encontrar una relación significativa entre la obra de Borges y la biología clásica".
Ahora bien, de haberse dirigido hacia otros campos, nuestro científico jamás hubiera pasado por tamaña frustración. El propio escritor dio cuenta de su pasión por las matemáticas en "La doctrina de los ciclos" (de "Historia de la Eternidad"): "El indoloro y casto despilfarro de números enormes obra sin duda ese placer peculiar de todos los excesos". Borges sabía de matemática, le interesaba la abstracción filosófica fin en sí, y estaba obsesionado por muchos de sus laberintos.
En su carácter mixto de lógica y absurdo, las afirmaciones verdaderas e inverosímiles eran una golosina bien apreciada por Borges. Muchos de sus cuentos reposan sobre alusiones a la geometría y el rigor matemático, sumado a la presencia de astutas paradojas. "La Biblioteca de Babel" es uno de ellos: "La Biblioteca febril, cuyos azarosos volúmenes corren el incesante albur de cambiarse en otros y que todo lo afirman, lo niegan y lo confunden como una divinidad que delira", dice el relator.
Allí se plantea un universo-biblioteca formado por infinitas salas hexagonales, donde se encontraría el "catálogo de catálogos", cifra de todos los demás, el origen de la Biblioteca y del tiempo: "En algún hexágono (razonaron los hombres) debe existir un libro que sea la cifra y el compendio perfecto de todos los demás: algún bibliotecario lo ha recorrido y es análogo a un dios", describe Borges.
Pero este catálogo de catálogos jamás podrá existir, es imposible: supone una paradoja matemática, y su autor se deleita con esa propuesta que no deja de ser tramposa: al mejor estilo Ripley´s Believe It or Not, Borges sugiere que esto es cierto, aunque usted no lo crea.
En su artículo "La matemática biblioteca de Babel", Claudio Salpeter ofrece esta explicación: "Supongamos que el conjunto A es el catálogo de catálogos y A1, A2, A3 son los catálogos existentes en la interminable Biblioteca. Simbólicamente tenemos: A={A1,A2,A3}. Nos encontramos con un catálogo que no está catalogado, el A. Deberíamos armar un catálogo B que lo incluyera: B={A,A1,A2,A3}. Ahora no está el catálogo B...", y así ad infinitum.
El escritor y matemático Guillermo Martínez, en su libro Borges y la matemática, interpreta que los elementos matemáticos en la prosa borgeana están "moldeados y transmutados en algo distinto", es decir, en literatura. Aunque son muchos los textos que sirven de ejemplo ("El jardín de los senderos que se bifurcan", "La doctrina de los ciclos", "El libro de Arena", "La muerte y la brújula", "Avatares de la tortuga", "La esfera de Pascal", Argumentum ornithologicum), Martínez destaca "El Aleph".
Precisamente en "El Aleph", el narrador llega a descubrir, en el sótano de una casa de la calle Garay, al pie de la escalera, una esfera de 2 o 3 centímetros que contiene todas las imágenes del universo: "El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño".
El primero se relaciona con la elección del nombre del Aleph: "Para la Cábala, esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad; también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior", y añade: "Para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes". ¿Cómo hacerlo? El asunto empieza a complicarse...
La Mengenlehre mencionada por Borges es la teoría de los conjuntos infinitos elaborada por el matemático alemán Georg Cantor hacia 1870. Esta teoría refuta el axioma aristotélico que define al todo como la suma de sus componentes, pues supone que el todo no es mayor que alguna de las partes. Martínez ilustra este concepto: en un desfile militar no puede contarse a simple vista cuántos jinetes hay, pero sí puede decirse que hay tantos jinetes como caballos. Así, se cuentan los conjuntos infinitos, asignando a cada elemento un número natural, siempre que pueda establecerse una correspondencia entre ellos. Si se piensa un conjunto de números infinitos y se toma un subconjunto de éste, la parte será igual de infinita que el todo. Del mismo modo, como los números naturales son infinitos, puede afirmarse que son también infinitas sus partes: los números pares y los impares.
Otra recurrente idea borgeana es una analogía geométrica. El símbolo del Aleph, en el relato, se asemeja a un hombre que señala al cielo y a la tierra: el intento humano de acceder a lo infinito. Y esa es la propuesta al describir el Aleph. De hecho, se dice: "Cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca". Entonces recuerda la esfera de Alanus de Insilus, cuyo centro está en todas partes y su circunferencia en ninguna. Lejos de ser un trabalenguas matemático, es más simple de lo que parece. Puede entenderse así: imagine un círculo compuesto por otros círculos, también compuestos por círculos, que a su vez contienen más círculos, y así de forma ilimitada.
Martínez lo explica como un plano donde todos los puntos son abarcables por círculos crecientes, sin importar donde está el centro. Como el círculo se expande de forma indefinida, cuando alcanza el infinito se pierde su circunferencia. Esta insospechada reducción de lo infinito a lo finito, de la esfera con centro en todas partes a la esferita de dos centímetros, logra fascinar a Martínez, quien exclama: "Si uno logra ver todo el universo también como una gran esfera, es mucho más plausible la idea de que todas las imágenes del universo puedan reproducirse en la esferita al pie de la escalera".
La última idea se relaciona con una paradoja de Bertrand Russell: no puede postularse un conjunto infinito que contenga a todos los conjuntos (a fin de cuentas, la misma idea de "La Biblioteca de Babel" en referencia al catálogo de catálogos). En palabras de Guillermo Martínez: "Si yo postulo el conjunto de todos los conjuntos, ése, por ser en sí mismo un conjunto, tendría que ser elemento de sí mismo". La idea aparece tan pronto como el narrador enumera las imágenes que observa en el Aleph, y entre ellas se ve a sí mismo contemplando la esfera. Este encuentro formidable genera profundos sentimientos en el personaje: "vi el Aleph, desde todos los puntos de vista, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré", escribe. Y el llanto no es una reacción inusual, si se toma en cuenta que Borges enfrentó a su personaje nada menos que a la totalidad del universo: "vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra." Lo vio todo.
Muchos de los textos de este escritor argentino poseen obvios tramos matemáticos; pero aunque no hubiera huellas, la misma prosa borgeana, por su estilo fundamentalmente ensayístico y lógico, encierra una similitud con el pensamiento matemático. Borges procede recopilando historias mediante la construcción de analogías, donde lo individual se pierde sobre lo genérico. Dice Martínez: "Borges, les gusta creer a los matemáticos, escribe exactamente como lo harían ellos si los pusieran a prueba".
Aunque no demos valor intelectual a aquellas consideraciones sobre los infinitos y las paradojas, también resulta comprensible que el escritor las estudiara con gran devoción. Su vida transcurrió en un ácido sarcasmo que, pese a su implacable maleficio, no le impidió desarrollar su genio. Es lo que Borges denuncia en su "Poema de los dones": "Nadie rebaje a lágrima o reproche / esta declaración de la maestría / de Dios, que con magnífica ironía / me dio a la vez los libros y la noche".



Exploradores del infinito

Numerosos artistas (amén de filósofos y pensadores) se han aventurado a experimentar con el infinito, las paradojas y variadas nociones de matemática. Uno de ellos fue Maurits Cornelius Escher: aficionado al álgebra y la aritmética. Genio de la geometría, este pintor es conocido por las paradojas de sus obras, como Ascending and Descending: personas que suben y bajan escaleras al mismo tiempo, sin poder apuntar con claridad la dirección de sus movimientos.
También en la pintura, el francés René Magritte apuntaba a la contradicción intelectual en obras como The human condition y Wall of peaks. En ellas está involucrada una peculiar idea del infinito, donde la imagen del cuadro se eterniza fuera y dentro de él.
En cuanto a la literatura, se suma Salvador Elizondo. En El gráfografo (1972) hace su aporte: "Escribo. Escribo que escribo. Mentalmente me veo escribir que escribo y también puedo verme que escribo..." y así sucesivamente.
Esta clase de textos bien podría calificarse de literatura fractal, donde las ideas permanecen sobre la hoja como si fueran dos espejos enfrentados. Así, pueden lograse historias cíclicas (como aquella de Alejandro Dolina: "Un escritor se sentó a escribir y escribió: un escritor se sentó a escribir y escribió: un escritor...", hasta el absurdo), ubicadas una dentro de la otra como cajas chinas, a modo del tedioso Cuento de la Buena Pipa.
Borges conocía muchos escritores y pensadores que se habían interesado en el infinito. De hecho, su "Biblioteca de Babel" ha sido inspirada por una serie de ellos, según él mismo comenta en su artículo "La Biblioteca Total" (publicado en Sur, Año IX, nº 59, Buenos Aires, 1939).
Existieron algunas ideas que anticiparon la Biblioteca en Euribio de Mileto, Demócrito y Leucipo, pero su "tardío inventor". Fue el psicólogo alemán Gustav Theodor Fechner (entre él y Demócrito, señala Borges, transcurrieron 24 siglos). Ellos comenzaron a idear la posibilidad de una biblioteca donde se reunieran todos los libros posibles. Y Kurd Lasswitz (1848-1910, considerado como el padre de la ciencia ficción alemana) la publicó por vez primera en el relato "La Biblioteca Universal", de 1901. Allí se hace patente aquel temor de Lewis Carroll -autor de Alicia en el país de las Maravillas- donde el número de libros posibles está limitado por la cantidad de combinaciones de palabras de un idioma. Pero debe tenerse en cuenta que además los libros tienen idéntico formato, con igual cantidad de páginas, renglones y caracteres.
Para Lasswitz, el elemento que combina son los símbolos ortográficos, cuyo número puede reducirse con facilidad (quitar la q, la x -letras reemplazables-; las mayúsculas, los acentos, elementos de puntuación). Así, Lasswitz logra un alfabeto de 25 símbolos (22 letras, más punto, coma y espacio: es el mismo postulado por Borges), y sus variaciones abarcarían todo lo expresable en cualquier idioma existente.
Por eso mismo, nada dejará de estar presente en esos libros, en esa Biblioteca: "Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca, miles y miles de catálogos falsos", y la enumeración de Borges se extiende varias líneas más. Habrá también algún libro con todas sus páginas en blanco, o sólo con una "a" o signos de interrogación; la Biblioteca universal debe agotar todas las posibles combinatorias.
El escritor alemán calculó la cantidad de libros que constituiría la Biblioteca: el número sería un uno seguido por dos millones de ceros. Cifra enormísima, pero limitada. Ese número, dice Lasswitz, "no tiene nombre. Ni siquiera hay forma alguna en que podamos esperar comprender alguna vez un número así, dado lo colosal que es, aunque sea finito". Por eso mismo se lee, en "La Biblioteca de Babel": "Quienes la imaginan sin límites, olvidan que los tienen el número posible de libros". ¿Pero cómo puede ser infinita esa Biblioteca, si las combinaciones son acotadas? En ágil solución, el final del cuento la presenta: "La Biblioteca es ilimitada y periódica. Si un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden)". Un grupo de libros (1#, 2#, 3#) que se reitera sin interrumpirse jamás (1#, 2#, 3#, 1#, 2#, 3#, 1#, 2#, etc.); se forman secuencias infinitas de ese conjunto, constituido por la cantidad de libros posible al combinar los 25 símbolos de Lasswitz sobre un único formato preestablecido.
Eso significa que la Biblioteca está formada por números en serie, que se repiten infinitamente, como sucedería con el número irracional ligado a este fenómeno: el número Pi.

Las paradojas a través del tiempo

Un discípulo de Parménides, Zenón de Elea, famoso por sus sofismas, negó la posibilidad de movimiento valiéndose de sesudas paradojas que a más de uno costaron arduo trabajo de la razón. Quizá la más conocida sea la de Aquiles y la tortuga. Allí, el héroe troyano se da a la carrera lisa y llana tras el parsimonioso quelonio y, pese a sus atléticas virtudes, el hombre del famoso talón pierde forzosamente.

La genial paradoja supone que Aquiles, con olímpica jactancia, le da a la tortuga diez metros de ventaja. Cuando Aquiles corre esos diez metros, la tortuga ya habrá hecho un metro, y cuando el guerrero recorre ese metro, la tortuga avanza un decímetro. Al transitar el guerrero ese decímetro, el animalito habrá corrido un milímetro. La cadena se extiende hasta donde pueda dividirse el número: hasta el infinito. La tortuga se arrastra y se arrastra. Aquiles corre y corre, pero (en términos lógico-matemáticos) nunca podrá siquiera alcanzarla.

Como Borges entendía, los elementos de un conjunto infinito pueden incluso desdoblarse en nuevas series infinitas. De este modo, ningún número tiene sucesor ni predecesor: después del 1, en lugar del 2, sigue el 1,01. Y luego de este, el 1,001 y el 1,0001. Nunca se llega al dos.

También se hace muy presente, en la prosa de Borges, la paradoja de Bertrand Russell sobre la autorreferencia, que provocó una profunda crisis en los fundamentos mismos de la matemática. Según su planteo, un conjunto de infinitos (A={B,C,D}) no puede ser elemento de sí mismo (A={A,B,C,D}). Russell elaboró una historia algo graciosa para popularizar su teoría. Imaginó un barbero que sólo afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos. Si el barbero quiere afeitarse, dejaría de pertenecer al conjunto de hombres que puede afeitar (los que no se afeitan a sí mismos), y por tanto no podría afeitarse. Y si no se afeita, pertenece al conjunto de hombres que no se afeitan a sí mismos, de modo que debe afeitarse. En medio de este círculo vicioso de pertenencias y no pertenencias, el desdichado hombre observa, tembloroso, navaja en mano, cómo su barba crece y crece sin que poder hacer algo al respecto.

Ciencia & Tecno
Octubre 2006